El debate acerca de qué son las entidades matemáticas (como los números o los conjuntos) ha tenido distintas respuestas en Filosofía de las Matemáticas. Una de ellas, de la que aquí se hablará, es la que ofrece el platonismo matemático, que defiende, principalmente, que los objetos matemáticos tienen una existencia metafísica real, en sentido fuerte, y que podemos llegar a conocerlos mediante lo que esta tendencia llama "intuición matemática”, concepto que no está definido con exactitud(1).

Antes de empezar, es importante decir que éste es un debate que sigue abierto.

Una forma más reciente de defender el platonismo matemático es la llamada “tesis de la indispensabilidad” o “tesis Quine-Putnam”, pues ambos hacen una defensa complementaria de la misma. Partiendo del hecho de que la referencia a entidades matemáticas es indispensable para la ciencia, se argumenta que hemos de comprometernos con su existencia. El argumento de indispensabilidad (AI) se puede formular de la siguiente manera(2):

1.Debemos tener un compromiso ontológico con todas y sólo con las entidades que sonindispensables para nuestras mejores teorías científicas.

2. Las entidades matemáticas son indispensables para nuestras mejores teorías científicas.

3. Luego, debemos tener un compromiso ontológico con las entidades matemáticas.

La referencia a entidades matemáticas es indispensable dado que las matemáticas proporcionan a la ciencia métodos de medición y términos cuantitativos que forman parte del todo de la teoría global: sin esas mediciones, no habría tal teoría.

Pese a todo, se da a la matemática (y a la lógica) el status de ciencia aplicada, de ciencia cuya fundamentación es distinta de la de las ciencias empíricas. Para Quine, esta consideración viene, principalmente, del hecho de que las matemáticas se aplican universalmente y nos proporcionan verdades analíticas, así como del hecho de que no tienen un objeto específico. Sin embargo, todo el peso de la evidencia sensible, argumenta él, no puede caer solamente en la ciencia empírica, pues nuestras teorías se enfrentan a la experiencia como un todo, y no las matemáticas por un lado y por otro las evidencias empíricas(3). De ahí que se fundamentan del mismo modo y, también de ahí, que sean inseparables de e indispensables para la ciencia empírica. Y, por lo tanto, hemos de comprometernos con la existencia de sus objetos (por AI).

La defensa de Putnam, que, fundamentalmente argumenta en favor de la empiricidad de la lógica y en contra de las objeciones a esta tesis, la dejo para otro momento, al igual que las objeciones más fuertes a esta postura. Por otra parte, tampoco son objeciones definitivas, porque, como ya he dicho, el debate sigue abierto.

Notas:

1De esta concepción de las entidades matemáticas también deriva el hecho de que toda proposición tenga un valor de verdad determinado (que sea verdadera o falsa) con independencia de que nosotros podamos saber cuál es. Pero, como esto concierne más a cuestiones de significado y a la polémica entre platonismo e intuicionismo, lo reservo para otro post.

3 De acuerdo con la postura holista confirmacional de Quine, que sostiene que las teorías se confirman como un todo.

Fuentes:

Colyvan, M., “Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics”, en The Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Quine, W. v. O., “Dos dogmas del empirismo”, en Desde un punto de vista lógico, Paidós, Barcelona, 2002.

Quine, W. v. O., “El fundamento de la verdad lógica”, en Filosofía de la ´Lógica, pp.161-173, Alianza Universidad, Madrid, 1981.

Quine, W. v. O., “Success and Limits of Mathematization”, en Theories and Things, pp. 148-155, Harvard University Press, Cambridge (MA), 1981.

Siento martirizaros (otra vez) con un soso post de Lógica, pero es a lo que más me dedico ahora mismo y, si no escribo sobre eso, es posible que no haya por aquí un post de Filosofía hasta el mes de agosto.

Tras este "meta-discurso-excusa", pasaré al tema que nos ocupa: una introducción al intuicionismo matemático y lógico.

En primer lugar, cabe tener en cuenta la distinción entre Lógica Clásica y Lógicas No Clásicas. El intuicionismo se encuadra dentro de las llamadas "Lógicas Alternativas", pues no acepta todas las verdades inherentes al razonamiento clásico.

Ante todo, el intuicionismo es una filosofía de las matemáticas. Esta filosofía trajo consigo una lógica intuicionista así como afectó a la concepción de la teoría del significado.
Frente a los planteamientos más tradicionales, como los formalistas y los logicistas, esta concepción, inicialmente ideada por Brouwer, sostuvo que la lógica no precede a la matemática, sino que depende de ella.

También conviene señalar cuál es la concepción de la matemática de Brouwer. Para él, ésta es una actividad mental, es lo que Brouwer llama la parte exacta del pensamiento humano, y los objetos matemáticos existen en la medida en que son pensados. Esto es, los objetos matemáticos son construcciones mentales cuyas propiedades quedan establecidas por medio de construcciones mentales. De este modo, los números no son otra cosa que creaciones de la mente.

Esta visión de las entidades matemáticas hace que el intuicionismo rechace gran parte de la matemática clásica, pues rechazan todo aquello que no es mentalmente construible. Éste es el caso, por ejemplo, de las totalidades infinitas completas¹ .

Con respecto al lenguaje, pueden usarse sus símbolos lingüísticos para que las personas que lo usan originen en otras personas copias de sus propias construcciones mentales. Así es como surge el lenguaje matemático, y un caso especial de este lenguaje es el lenguaje lógico.

Puede verse, desde esta consideración, que la preeminencia es para la matemática: la matemática es más básica que la lógica.

El intuicionismo no sólo difiere de la Lógica Clásica en las leyes que ésta admite como válidas, sino también en el modo de interpretar las conectivas (negación, conjunción, condicional y disyunción). Asimismo, difiere en la concepción de las nociones de verdad y falsedad, que trata en términos de "prueba" y "refutación" y en el tratamiento de los enunciados cuyo valor de verdad es indecidible, esto es, los enunciados para los que no tenemos una prueba de su verdad o falsedad, como las conjeturas matemáticas o los condicionales contrafácticos.

Dejo para otro día la concepción intuicionista de las conectivas. Y, si me animo, puede que hasta escriba sobre la axiomatización y el método intuicionista de deducción natural, pero no prometo nada.

Mi más sincera enhorabuena a quien se lea este post entero.

^{1 Los intuicionistas no aceptan la noción de infinito actual en cuanto presencia simultánea de una infinidad de objetos. Sin embargo, acepta la idea de infinito potencial como posibilidad de generar objetos indefinidamente.}

Fuente: apuntes de Lógicas Alternativas de la Facultad de Filosofía de la Universidad de Murcia.

Entre 1879 y 1884, Cantor ideó una nueva disciplina basada en la noción de conjunto y la relación de pertenencia. Pronto sería conocida como Teoría de Conjuntos, una rama autónoma de la matemática.

La noción de conjunto que él utilizaba es de lo más simple y de lo menos restringida: “un conjunto es cualquier colección de objetos distintos y bien definidos de nuestra intuición o nuestro pensamiento, reunidos en un todo”.

Sin embargo, esta noción de conjunto pronto se presentó como problemática, pues desde la misma era posible derivar paradojas y, por lo tanto, contradicciones.

Una de las paradojas a las que me refiero es la conocida Paradoja de Russell, que él mismo formuló en 1901.

Para acercarnos a esta paradoja, una vez que ya tenemos la noción de conjunto, haremos una distinción entre conjuntos que pertenecen a sí mismos y conjuntos que no pertenecen a sí mismos.

Por ejemplo, “el conjunto de todas las mesas” o “el conjunto de todos los seres humanos” no pertenecen a sí mismos, porque el conjunto de todas las mesas, aunque es un conjunto, no es una mesa. Lo mismo ocurre con el conjunto de los seres humanos.

Ahora bien, “el conjunto de las cosas distintas de las mesas” es, él mismo, una cosa distinta de las mesas, y por eso pertenece a sí mismo. Esto también ocurre con “el conjunto de todos los conjuntos que existen”, etc.

Ahora, supongamos que tenemos el conjunto R (de Russell) y que éste es el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos:

Si el conjunto R pertenece a sí mismo, entonces no puede pertenecer a sí mismo, al igual que sus elementos. Pero si no pertenece a sí mismo, entonces cumple la condición para pertenecer a sí mismo, con lo que sí pertenece a sí mismo. En ambos casos llegamos a contradicción:

R pertenece a R si y sólo si R no pertenece a R.

Esta derivación basta para desbancar la noción básica de conjunto.

Más adelante, Russell determina que el origen de las paradojas relacionadas con la recién iniciada Teoría de Conjuntos es el llamado “Principio del círculo vicioso”. Éste dice, tal y como él lo expone en Principia Mathematica que “lo que quiera que involucre la totalidad de una colección no debe ser parte de esa colección”. Así, no podemos definir un objeto en términos del conjunto al que pertenece. Si así lo hiciéramos, la definición del objeto no sería en absoluto correcta, ni tampoco la del conjunto. Russell llama a este tipo de definiciones “impredicativas”.

Tras el diagnóstico de Russell, el “conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos” no puede un ser conjunto, pues se caracteriza a un conjunto de objetos que, necesariamente, está entre los objetos que forman parte del mismo. Por la misma razón, el “conjunto de las cosas distintas de las mesas” tampoco puede caracterizarse apropiadamente como conjunto.

Si aplicamos este principio, es imposible que surja la Paradoja de Russell.

P. S. Este post podría continuar con la Teoría de tipos de Russell, basada en la aplicación del Principio del círculo vicioso, que tampoco permite que surja la paradoja que se ha mostrado. Sin embargo, me parece que este post está superando ya el espacio permisible, y más aún, cuando el tema es éste.

P. P. S. Si alguien se lo lee hasta el final, tiene mi absoluto respeto y consideración. :)

Fuente: apuntes de la asignatura Lógica y Fundamentos de la facultad de Filosofía de la Universidad de Murcia.

Para leer más:

Wikipedia (español).

Wikipedia (inglés).

Stanford Encyclopedia of Philosophy (inglés).

Un software corriendo sobre Blue Gene pasaría el Test de Turing.
Parece ser que a finales de otoño, por primera vez, una máquina podría hacerse pasar por un humano con éxito.

Vía meneame.

Ya hablé en otro post de los problemas que planteaba el razonamiento deductivo en cuanto a su aplicación a enunciados empíricos, así como de los que plantea el razonamiento inductivo a la hora de su justificación.

Ahora voy a retomar este tema hablando muy brevemente de un problema clásico relacionado con él. Éste es el problema de la inducción, y tiene que ver con cómo podemos justificar el proceder de manera inductiva a la hora de argumentar.

Para comenzar, retomaremos el el enunciado del principio de inducción: si en una amplia variedad de condiciones se observa una gran cantidad de A y si todos los A observados tienen, sin excepción, la propiedad B, entonces todos los A tienen la propiedad B.

Por ejemplo:

Premisas:

Conclusión:

Ahora bien, ¿cómo justificar dicho principio para poder operar con él en nuestros razonamientos inductivos? No podemos apelar a la lógica, pues las inferencias inductivas no son inferencias lógicas. Sólo nos queda, por esto, intentar justificar la inducción recurriendo a la experiencia.

¿Cómo podemos hacer esto? Hemos visto que la inducción funciona en un gran número de casos. Tenemos un gran número de predicciones exitosas que se basan en leyes derivadas de la inducción. Así, para justificar la inducción mediante la experiencia, podríamos argumentar que:

Sin embargo, esta forma de argumentar es del todo inaceptable, pues procede de manera inductiva: en base a la observación de un número de casos concretos, concluimos un enunciado general. Esto implica justificar la inducción con la inducción, dando por supuesto lo que queremos demostrar.

Fuente: Chalmers, A. F., ¿Qué es esa cosa llamada ciencia?, Siglo XXI, Madrid, 2004.

En los Principia de Newton , en el parágrafo 14 del Scholium a las definiciones se puede leer lo siguiente: "el significado de las palabras se determina por el uso".
También Spinoza decía algo parecido, al decir que "parece pertinente para cualquiera que pregunte acerca del primer significado de una palabra ver qué denotaba en el uso común".

Entonces, ¿rompió Wittgenstein realmente con la tradición? ¿Influyó esto en él?
Creo que no podremos saberlo.

Vía Obscure and Confused Ideas .

Philosophiae naturalis principia mathematica en google books.

En un post anterior, explicaba cuáles son los rasgos principales del razonamiento deductivo y por qué no se pueden deducir enunciados generales desde hechos particulares: para esto hace falta el razonamiento inductivo. Sin embargo, como se intentará mostrar a continuación, también el razonamiento inductivo es difícilmente justificable y, a pesar de todo, le concedemos crédito en ciencia. Veamos a qué me refiero.

Un razonamiento inductivo es un tipo de razonamiento del tipo del ejemplo de la dilatación de los metales del post anterior. Se llama “inductivo” para distinguirlo del razonamiento lógico, deductivo. Uno de sus rasgos esenciales es que cuando pasamos de enunciados sobre algunos hechos particulares a enunciados sobre todos los hechos, éste dice más de lo que está contenido en las premisas. Por ejemplo, las leyes científicas generales van más allá de la evidencia observable que subyace a ellas y por eso no es posible deducirlas lógicamente de la misma.

Así, dado que este razonamiento va más allá de lo observable, ¿cómo justificar que una inferencia inductiva es válida? ¿Cómo justificar que podemos pasar de hechos observables a leyes generales si no es posible una inferencia lógica? Para esto hacen falta tres condiciones:

(1) El número de enunciados observacionales que sirvan como base de la generalización ha de ser grande.

Ésta es una condición necesaria. En el caso de los metales, está claro que no podríamos concluir que todos los metales se dilatan al calentarse sobre la base de un número muy reducido de casos.

(2) Las observaciones deben repetirse en una amplia variedad de condiciones.

Podría ocurrir que calentáramos muchas veces el mismo metal para obtener los mismos resultados. Por eso esta condición también es necesaria.

(3) Ningún resultado observacional que se acepte puede entrar en contradicción con una ley universal derivada.

Esta condición es, por supuesto, esencial.

Estas tres condiciones se resumen en el enunciado del principio de inducción: si en una amplia variedad de condiciones se observa una gran cantidad de A y si todos los A observados tienen, sin excepción, la propiedad B, entonces todos los A tienen la propiedad B.

¿Qué problemas plantea esta caracterización de la inducción?

• En primer lugar, con respecto a (1), ¿cuál sería un número lo suficientemente grande de enunciados observacionales? Además, hay veces en las que no tiene sentido exigir un gran número de casos a la hora de hacer una generalización. Por ejemplo, nadie exigiría que se volviera a lanzar una bomba atómica para asegurarnos de su poder destructor. Por eso (1) es problemática al ser “un número lo suficientemente grande” algo vago.
• En cuanto a (2), ¿qué es una variación en las circunstancias? ¿cuándo es ésta significativa?¿cómo eliminar las variaciones superfluas? Podríamos decir que, sobre la base de nuestro conocimiento previo, juzgamos qué circunstancias son relevantes. El problema que lleva consigo esta afirmación es el de cómo justificar ese conocimiento previo que ponemos en marcha en cada nuevo razonamiento inductivo, pues cada razonamiento de este tipo involucra un conocimiento previo que requiere, a su vez, un razonamiento inductivo anterior que lo justifique y éste, a su vez acude a un conocimiento previo... Con lo que tenemos un problema de circularidad.
• Por último, la condición (3) tampoco está exenta de problemas, pues casi siempre hay excepciones en los conocimientos científicos.

Como se ve, la justificación, el dar razones del razonamiento inductivo es algo problemático. Los problemas que plantea no acaban aquí. Falta, como mínimo, hablar del llamado “problema de la inducción”, pero esto queda ya para otro post.

Fuente: Chalmers, A. F., ¿Qué es esa cosa llamada ciencia?, Siglo XXI, Madrid, 2004.

Podemos suponer que hay unos hechos observacionales y experimentales cuya observación atenta puede servir como base al conocimiento científico. Es decir, podemos suponer que hay hechos “apropiados” en ciencia.
Ahora bien, ¿cómo derivar el conocimiento científico de esos hechos? ¿en qué medida apoyan los hechos una teoría? O lo que es lo mismo ¿cómo justificar que, dados los hechos x, se puede probar una teoría como consecuencia de los mismos? Intentaré mostrar que esta afirmación no puede ser justificada.

Para empezar, veremos someramente algunos rasgos característicos del razonamiento lógico:

En un sentido muy amplio (no entraremos en cuestiones más complejas, sino que simplificaré al máximo) la lógica estudia qué se sigue de qué, se ocupa de la deducción de unos enunciados a partir de otros dados. Por ejemplo:

1. Todos los posts de filosofía son aburridos.
2. Éste es un post de filosofía.
3. Este post es aburrido.

En este argumento deductivo, (1) y (2) son las premisas, y (3) la conclusión.
Para que ésta sea una deducción lógicamente válida tiene que ocurrir que, si las premisas son verdaderas, la conclusión también lo es, y lo mismo si éstas son falsas (la conclusión también lo es). La verdad se transmite de las premisas a la conclusión.

El problema que tenemos es que la lógica no nos proporciona todo lo necesario a la hora de establecer la verdad de los enunciados fácticos, pues lo único que nos dice la lógica es que si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también lo será. Por eso, podríamos hacer una deducción completamente válida con una premisa falsa. Por ejemplo:

1. Todas las filósofas son guapas.
2. Piluky es una filósofa.
3. Piluky es guapa.

En este caso, (1) y (3) son falsas, pero esto no afecta a la validez del argumento.

De ahí que, aunque la lógica tenga la fuerza de preservar la verdad, no podemos establecer la verdad de los enunciados que se refieren a los hechos apelando sólo a la misma. Por eso, el conocimiento científico no puede derivarse de los hechos si “derivar” se interpreta como “deducir lógicamente".

Otro ejemplo: todos los metales se dilatan al calentarse.

Esto es lo que los filósofos llamamos un enunciado universal. Pero, ¿qué pasa cuando se trata de hechos particulares que prueban las leyes científicas generales? ¿qué ocurre con los enunciados que se refieren a un caso concreto en un tiempo concreto?
Un ejemplo de enunciado singular sería: la longitud de una barra de cobre aumenta cuando ésta se calienta.

Ahora bien, ¿qué tipo de hechos, utilizados como premisas, pueden llevarnos a las leyes como conclusiones? Si seguimos con la dilatación de los metales, podríamos hacer el razonamiento siguiente:

Premisas:
• El metal x1 se dilató al calentarlo en la ocasión t1
• El metal x2 se dilató al calentarlo en la ocasión t2
• El metal xn se dilató al calentarlo en la ocasión tn

Conclusión:

• Todos los metales se dilatan al ser calentados.

Como se aprecia, éste no es un razonamiento lógicamente válido. Por muchas observaciones que hayamos hecho de metales dilatándose, no hay garantía lógica de que el metal no permanezca tal cual, o se contraiga. El razonamiento que se usa con un número determinado de hechos específicos se llama razonamiento inductivo.

Y ése lo dejo para otro día, que por hoy ya está bien.

Fuente: Chalmers, A. F., ¿Qué es esa cosa llamada ciencia?, Siglo XXI, Madrid, 2004.