Entre 1879 y 1884, Cantor ideó una nueva disciplina basada en la noción de conjunto y la relación de pertenencia. Pronto sería conocida como Teoría de Conjuntos, una rama autónoma de la matemática.

La noción de conjunto que él utilizaba es de lo más simple y de lo menos restringida: “un conjunto es cualquier colección de objetos distintos y bien definidos de nuestra intuición o nuestro pensamiento, reunidos en un todo”.

Sin embargo, esta noción de conjunto pronto se presentó como problemática, pues desde la misma era posible derivar paradojas y, por lo tanto, contradicciones.

Una de las paradojas a las que me refiero es la conocida Paradoja de Russell, que él mismo formuló en 1901.

Para acercarnos a esta paradoja, una vez que ya tenemos la noción de conjunto, haremos una distinción entre conjuntos que pertenecen a sí mismos y conjuntos que no pertenecen a sí mismos.

Por ejemplo, “el conjunto de todas las mesas” o “el conjunto de todos los seres humanos” no pertenecen a sí mismos, porque el conjunto de todas las mesas, aunque es un conjunto, no es una mesa. Lo mismo ocurre con el conjunto de los seres humanos.

Ahora bien, “el conjunto de las cosas distintas de las mesas” es, él mismo, una cosa distinta de las mesas, y por eso pertenece a sí mismo. Esto también ocurre con “el conjunto de todos los conjuntos que existen”, etc.

Ahora, supongamos que tenemos el conjunto R (de Russell) y que éste es el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos:

Si el conjunto R pertenece a sí mismo, entonces no puede pertenecer a sí mismo, al igual que sus elementos. Pero si no pertenece a sí mismo, entonces cumple la condición para pertenecer a sí mismo, con lo que sí pertenece a sí mismo. En ambos casos llegamos a contradicción:

R pertenece a R si y sólo si R no pertenece a R.

Esta derivación basta para desbancar la noción básica de conjunto.

Más adelante, Russell determina que el origen de las paradojas relacionadas con la recién iniciada Teoría de Conjuntos es el llamado “Principio del círculo vicioso”. Éste dice, tal y como él lo expone en Principia Mathematica que “lo que quiera que involucre la totalidad de una colección no debe ser parte de esa colección”. Así, no podemos definir un objeto en términos del conjunto al que pertenece. Si así lo hiciéramos, la definición del objeto no sería en absoluto correcta, ni tampoco la del conjunto. Russell llama a este tipo de definiciones “impredicativas”.

Tras el diagnóstico de Russell, el “conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos” no puede un ser conjunto, pues se caracteriza a un conjunto de objetos que, necesariamente, está entre los objetos que forman parte del mismo. Por la misma razón, el “conjunto de las cosas distintas de las mesas” tampoco puede caracterizarse apropiadamente como conjunto.

Si aplicamos este principio, es imposible que surja la Paradoja de Russell.

P. S. Este post podría continuar con la Teoría de tipos de Russell, basada en la aplicación del Principio del círculo vicioso, que tampoco permite que surja la paradoja que se ha mostrado. Sin embargo, me parece que este post está superando ya el espacio permisible, y más aún, cuando el tema es éste.

P. P. S. Si alguien se lo lee hasta el final, tiene mi absoluto respeto y consideración. :)

Fuente: apuntes de la asignatura Lógica y Fundamentos de la facultad de Filosofía de la Universidad de Murcia.

Para leer más:

Wikipedia (español).

Wikipedia (inglés).

Stanford Encyclopedia of Philosophy (inglés).