El debate acerca de qué son las entidades matemáticas (como los números o los conjuntos) ha tenido distintas respuestas en Filosofía de las Matemáticas. Una de ellas, de la que aquí se hablará, es la que ofrece el platonismo matemático, que defiende, principalmente, que los objetos matemáticos tienen una existencia metafísica real, en sentido fuerte, y que podemos llegar a conocerlos mediante lo que esta tendencia llama "intuición matemática”, concepto que no está definido con exactitud(1).

Antes de empezar, es importante decir que éste es un debate que sigue abierto.

Una forma más reciente de defender el platonismo matemático es la llamada “tesis de la indispensabilidad” o “tesis Quine-Putnam”, pues ambos hacen una defensa complementaria de la misma. Partiendo del hecho de que la referencia a entidades matemáticas es indispensable para la ciencia, se argumenta que hemos de comprometernos con su existencia. El argumento de indispensabilidad (AI) se puede formular de la siguiente manera(2):

1.Debemos tener un compromiso ontológico con todas y sólo con las entidades que sonindispensables para nuestras mejores teorías científicas.

2. Las entidades matemáticas son indispensables para nuestras mejores teorías científicas.

3. Luego, debemos tener un compromiso ontológico con las entidades matemáticas.

La referencia a entidades matemáticas es indispensable dado que las matemáticas proporcionan a la ciencia métodos de medición y términos cuantitativos que forman parte del todo de la teoría global: sin esas mediciones, no habría tal teoría.

Pese a todo, se da a la matemática (y a la lógica) el status de ciencia aplicada, de ciencia cuya fundamentación es distinta de la de las ciencias empíricas. Para Quine, esta consideración viene, principalmente, del hecho de que las matemáticas se aplican universalmente y nos proporcionan verdades analíticas, así como del hecho de que no tienen un objeto específico. Sin embargo, todo el peso de la evidencia sensible, argumenta él, no puede caer solamente en la ciencia empírica, pues nuestras teorías se enfrentan a la experiencia como un todo, y no las matemáticas por un lado y por otro las evidencias empíricas(3). De ahí que se fundamentan del mismo modo y, también de ahí, que sean inseparables de e indispensables para la ciencia empírica. Y, por lo tanto, hemos de comprometernos con la existencia de sus objetos (por AI).

La defensa de Putnam, que, fundamentalmente argumenta en favor de la empiricidad de la lógica y en contra de las objeciones a esta tesis, la dejo para otro momento, al igual que las objeciones más fuertes a esta postura. Por otra parte, tampoco son objeciones definitivas, porque, como ya he dicho, el debate sigue abierto.


Notas:

1De esta concepción de las entidades matemáticas también deriva el hecho de que toda proposición tenga un valor de verdad determinado (que sea verdadera o falsa) con independencia de que nosotros podamos saber cuál es. Pero, como esto concierne más a cuestiones de significado y a la polémica entre platonismo e intuicionismo, lo reservo para otro post.

2 Ésta es la formulación de M. Colyvan, pero hay más. Lo que Putnam dice exactamente en su Philosophy of Logic es lo siguiente: “La cuantificación sobre las entidades matemáticas es indispensable para la ciencia (...); por lo tanto, deberíamos aceptar tal cuantificación; pero esto nos compromete con aceptar la existencia de las entidades matemáticas en cuestión”.

3 De acuerdo con la postura holista confirmacional de Quine, que sostiene que las teorías se confirman como un todo.

Fuentes:

Colyvan, M., “Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics”, en The Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Quine, W. v. O., “Dos dogmas del empirismo”, en Desde un punto de vista lógico, Paidós, Barcelona, 2002.

Quine, W. v. O., “El fundamento de la verdad lógica”, en Filosofía de la ´Lógica, pp.161-173, Alianza Universidad, Madrid, 1981.

Quine, W. v. O., “Success and Limits of Mathematization”, en Theories and Things, pp. 148-155, Harvard University Press, Cambridge (MA), 1981.