Dentro de las Lógicas No Clásicas (aquí hay una introducción) se encuentran las lógicas extendidas. Las Lógicas Extendidas son aquéllas que, por considerar que la Lógica Clásica (LC) es insuficiente, hacen sistemas suplementarios que aceptan los axiomas y teoremas de LC, pero añadiendo algunos más: suplementan a LC.

Una Lógica Extendida es la Lógica Modal. La base de este sistema consiste en considerar que las proposiciones pueden no sólo ser verdaderas o falsas, sino que son verdaderas o falsas de distintos modos. Por ejemplo, una proposición puede ser verdadera sin más, o falsa sin más. Pero también puede ocurrir que la proposición tenga que ser verdadera (esto es, que no pueda ser falsa), y a la inversa, que sea falsa y que no pueda ser verdadera.

Así, si una proposición tiene que ser verdadera, diremos que es necesariamente verdadera. Si es necesariamente falsa (i. e., si tiene que ser falsa), diremos que es imposible. Si una proposición puede ser verdadera, es decir, si no es imposible, diremos que es posible (de ahí que todas las proposiciones necesarias sean posibles, pero no a la inversa). Si no es necesaria ni imposible, la proposición es contingente (con lo que, de las proposiciones contingentes, unas serán verdaderas y otras falsas).

Hay que señalar que estamos hablando de proposiciones que tienen que ser verdaderas o falsas en sentido lógico y, por lo tanto, hablamos de necesidad, posibilidad, imposibilidad y contingencia lógicas. Por eso, proposiciones del tipo "todos los metales se dilatan al calentarse" no se considerarán necesarias, pues, aunque consideremos que es imposible negarlas, se apoyan en hechos físicos. Sí se tomarán como necesarias las verdades de tipo analítico, como "ningún soltero es casado" o como "llueve o no llueve".

Todas las modalidades están relacionadas entre sí, de tal manera que se podrían explicar tres nociones modales cualesquiera a partir de la cuarta. Tomemos, por ejemplo, la noción de "necesidad" para explicar el resto: una proposición imposible es la que es necesariamente falsa; si no es necesariamente falsa, es que es posible; si no es necesariamente verdadera ni falsa, entonces es contingente.

Esta forma de entender las modalidades es alética (del griego aletheia, "verdad"), porque se refiere a la verdad o falsedad de las proposiciones. Sin embargo, además de los modos aléticos, también se pueden considerar como modos temporales (si consideramos la verdad de la proposición de modo temporal) o deónticos (si consideramos la verdad de la proposición de manera relacionada con el deber). Eso sí, cuando hablamos de "lógica modal" en sentido estricto, hablamos de "lógica modal alética". En el resto de casos, hablamos de lógica temporal o deóntica.

Con respecto a los modos en lógica temporal, el introducir nociones temporales en lógica viene del hecho de haber intentado reducir las nociones modales a nociones temporales. La primera línea de reducción de las nociones modales a las temporales es la que llevó a cabo la lógica de los megáricos. Éstos definieron lo posible como aquello que está realizado en algún tiempo, y lo necesario es lo que está realizado en todo tiempo.

Las definiciones de las modalidades que más interés suscitan (a la vista del desarrollo de la lógica actual), son las de Diodoro Cronos, según las cuales lo posible es lo que es verdadero o lo que va a ser verdadero; lo imposible como lo que es falso y nunca será verdadero; y lo necesario como aquello que es verdadero y que nunca será falso. Como se aprecia, en sus definiciones Diodoro tiene en cuenta los tiempos presentes y futuros, pero no el pasado. En lógica temporal actual no es esto lo que ocurre, pues hay operadores para pasado (P) y para futuro (F), mientras que para el presente basta con la proposición sin operadores temporales.

Con respecto a los modos deónticos, se busca una  reducción de nociones modales a nociones deónticas tras haber observado una analogía formal entre los conceptos de necesidad, posibilidad e imposibilidad y las nociones de obligación, permisión y prohibición. La lógica deóntica se ocupa de los conceptos normativos y axiológicos, de la completitud de los sistemas jurídicos, etc.

Desde este punto de vista deóntico, podemos hacer una serie de comparaciones con los modos clásicos aléticos. Así, lo necesario en lógica modal, en lógica deóntica es lo que es obligado; lo posible, lo que está permitido; lo imposible, lo que está prohibido, y lo contingente, aquello que es facultativo.

Con esto, hemos hecho un recorrido a las principales modalidades que hay en lógica. No sólo las hemos visto desde un punto de vista alético (el clásico), sino también desde un punto de vista temporal y deóntico. Aunque el artículo sea breve (porque espero que os haya resultado breve, aunque sea de lógica, porfa), da cuenta de un modo general de estas cuestiones.

Espero que os sea útil. Aunque la utilidad en filosofía es algo taaaan etéreo...  ;)

Fuentes:

Prior, A. N.,  Historia de la Lógica, Tecnos, Madrid, 1976.

Apuntes de Juan Carlos León, profesor de Lógicas No Clásicas de la Facultad de Filosofía de la Universidad de Murcia.

El debate acerca de qué son las entidades matemáticas (como los números o los conjuntos) ha tenido distintas respuestas en Filosofía de las Matemáticas. Una de ellas, de la que aquí se hablará, es la que ofrece el platonismo matemático, que defiende, principalmente, que los objetos matemáticos tienen una existencia metafísica real, en sentido fuerte, y que podemos llegar a conocerlos mediante lo que esta tendencia llama "intuición matemática”, concepto que no está definido con exactitud(1).

Antes de empezar, es importante decir que éste es un debate que sigue abierto.

Una forma más reciente de defender el platonismo matemático es la llamada “tesis de la indispensabilidad” o “tesis Quine-Putnam”, pues ambos hacen una defensa complementaria de la misma. Partiendo del hecho de que la referencia a entidades matemáticas es indispensable para la ciencia, se argumenta que hemos de comprometernos con su existencia. El argumento de indispensabilidad (AI) se puede formular de la siguiente manera(2):

1.Debemos tener un compromiso ontológico con todas y sólo con las entidades que sonindispensables para nuestras mejores teorías científicas.

2. Las entidades matemáticas son indispensables para nuestras mejores teorías científicas.

3. Luego, debemos tener un compromiso ontológico con las entidades matemáticas.

La referencia a entidades matemáticas es indispensable dado que las matemáticas proporcionan a la ciencia métodos de medición y términos cuantitativos que forman parte del todo de la teoría global: sin esas mediciones, no habría tal teoría.

Pese a todo, se da a la matemática (y a la lógica) el status de ciencia aplicada, de ciencia cuya fundamentación es distinta de la de las ciencias empíricas. Para Quine, esta consideración viene, principalmente, del hecho de que las matemáticas se aplican universalmente y nos proporcionan verdades analíticas, así como del hecho de que no tienen un objeto específico. Sin embargo, todo el peso de la evidencia sensible, argumenta él, no puede caer solamente en la ciencia empírica, pues nuestras teorías se enfrentan a la experiencia como un todo, y no las matemáticas por un lado y por otro las evidencias empíricas(3). De ahí que se fundamentan del mismo modo y, también de ahí, que sean inseparables de e indispensables para la ciencia empírica. Y, por lo tanto, hemos de comprometernos con la existencia de sus objetos (por AI).

La defensa de Putnam, que, fundamentalmente argumenta en favor de la empiricidad de la lógica y en contra de las objeciones a esta tesis, la dejo para otro momento, al igual que las objeciones más fuertes a esta postura. Por otra parte, tampoco son objeciones definitivas, porque, como ya he dicho, el debate sigue abierto.

Notas:

1De esta concepción de las entidades matemáticas también deriva el hecho de que toda proposición tenga un valor de verdad determinado (que sea verdadera o falsa) con independencia de que nosotros podamos saber cuál es. Pero, como esto concierne más a cuestiones de significado y a la polémica entre platonismo e intuicionismo, lo reservo para otro post.

3 De acuerdo con la postura holista confirmacional de Quine, que sostiene que las teorías se confirman como un todo.

Fuentes:

Colyvan, M., “Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics”, en The Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Quine, W. v. O., “Dos dogmas del empirismo”, en Desde un punto de vista lógico, Paidós, Barcelona, 2002.

Quine, W. v. O., “El fundamento de la verdad lógica”, en Filosofía de la ´Lógica, pp.161-173, Alianza Universidad, Madrid, 1981.

Quine, W. v. O., “Success and Limits of Mathematization”, en Theories and Things, pp. 148-155, Harvard University Press, Cambridge (MA), 1981.

Siento martirizaros (otra vez) con un soso post de Lógica, pero es a lo que más me dedico ahora mismo y, si no escribo sobre eso, es posible que no haya por aquí un post de Filosofía hasta el mes de agosto.

Tras este "meta-discurso-excusa", pasaré al tema que nos ocupa: una introducción al intuicionismo matemático y lógico.

En primer lugar, cabe tener en cuenta la distinción entre Lógica Clásica y Lógicas No Clásicas. El intuicionismo se encuadra dentro de las llamadas "Lógicas Alternativas", pues no acepta todas las verdades inherentes al razonamiento clásico.

Ante todo, el intuicionismo es una filosofía de las matemáticas. Esta filosofía trajo consigo una lógica intuicionista así como afectó a la concepción de la teoría del significado.
Frente a los planteamientos más tradicionales, como los formalistas y los logicistas, esta concepción, inicialmente ideada por Brouwer, sostuvo que la lógica no precede a la matemática, sino que depende de ella.

También conviene señalar cuál es la concepción de la matemática de Brouwer. Para él, ésta es una actividad mental, es lo que Brouwer llama la parte exacta del pensamiento humano, y los objetos matemáticos existen en la medida en que son pensados. Esto es, los objetos matemáticos son construcciones mentales cuyas propiedades quedan establecidas por medio de construcciones mentales. De este modo, los números no son otra cosa que creaciones de la mente.

Esta visión de las entidades matemáticas hace que el intuicionismo rechace gran parte de la matemática clásica, pues rechazan todo aquello que no es mentalmente construible. Éste es el caso, por ejemplo, de las totalidades infinitas completas¹ .

Con respecto al lenguaje, pueden usarse sus símbolos lingüísticos para que las personas que lo usan originen en otras personas copias de sus propias construcciones mentales. Así es como surge el lenguaje matemático, y un caso especial de este lenguaje es el lenguaje lógico.

Puede verse, desde esta consideración, que la preeminencia es para la matemática: la matemática es más básica que la lógica.

El intuicionismo no sólo difiere de la Lógica Clásica en las leyes que ésta admite como válidas, sino también en el modo de interpretar las conectivas (negación, conjunción, condicional y disyunción). Asimismo, difiere en la concepción de las nociones de verdad y falsedad, que trata en términos de "prueba" y "refutación" y en el tratamiento de los enunciados cuyo valor de verdad es indecidible, esto es, los enunciados para los que no tenemos una prueba de su verdad o falsedad, como las conjeturas matemáticas o los condicionales contrafácticos.

Dejo para otro día la concepción intuicionista de las conectivas. Y, si me animo, puede que hasta escriba sobre la axiomatización y el método intuicionista de deducción natural, pero no prometo nada.

Mi más sincera enhorabuena a quien se lea este post entero.

^{1 Los intuicionistas no aceptan la noción de infinito actual en cuanto presencia simultánea de una infinidad de objetos. Sin embargo, acepta la idea de infinito potencial como posibilidad de generar objetos indefinidamente.}

Fuente: apuntes de Lógicas Alternativas de la Facultad de Filosofía de la Universidad de Murcia.

Entre 1879 y 1884, Cantor ideó una nueva disciplina basada en la noción de conjunto y la relación de pertenencia. Pronto sería conocida como Teoría de Conjuntos, una rama autónoma de la matemática.

La noción de conjunto que él utilizaba es de lo más simple y de lo menos restringida: “un conjunto es cualquier colección de objetos distintos y bien definidos de nuestra intuición o nuestro pensamiento, reunidos en un todo”.

Sin embargo, esta noción de conjunto pronto se presentó como problemática, pues desde la misma era posible derivar paradojas y, por lo tanto, contradicciones.

Una de las paradojas a las que me refiero es la conocida Paradoja de Russell, que él mismo formuló en 1901.

Para acercarnos a esta paradoja, una vez que ya tenemos la noción de conjunto, haremos una distinción entre conjuntos que pertenecen a sí mismos y conjuntos que no pertenecen a sí mismos.

Por ejemplo, “el conjunto de todas las mesas” o “el conjunto de todos los seres humanos” no pertenecen a sí mismos, porque el conjunto de todas las mesas, aunque es un conjunto, no es una mesa. Lo mismo ocurre con el conjunto de los seres humanos.

Ahora bien, “el conjunto de las cosas distintas de las mesas” es, él mismo, una cosa distinta de las mesas, y por eso pertenece a sí mismo. Esto también ocurre con “el conjunto de todos los conjuntos que existen”, etc.

Ahora, supongamos que tenemos el conjunto R (de Russell) y que éste es el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos:

Si el conjunto R pertenece a sí mismo, entonces no puede pertenecer a sí mismo, al igual que sus elementos. Pero si no pertenece a sí mismo, entonces cumple la condición para pertenecer a sí mismo, con lo que sí pertenece a sí mismo. En ambos casos llegamos a contradicción:

R pertenece a R si y sólo si R no pertenece a R.

Esta derivación basta para desbancar la noción básica de conjunto.

Más adelante, Russell determina que el origen de las paradojas relacionadas con la recién iniciada Teoría de Conjuntos es el llamado “Principio del círculo vicioso”. Éste dice, tal y como él lo expone en Principia Mathematica que “lo que quiera que involucre la totalidad de una colección no debe ser parte de esa colección”. Así, no podemos definir un objeto en términos del conjunto al que pertenece. Si así lo hiciéramos, la definición del objeto no sería en absoluto correcta, ni tampoco la del conjunto. Russell llama a este tipo de definiciones “impredicativas”.

Tras el diagnóstico de Russell, el “conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos” no puede un ser conjunto, pues se caracteriza a un conjunto de objetos que, necesariamente, está entre los objetos que forman parte del mismo. Por la misma razón, el “conjunto de las cosas distintas de las mesas” tampoco puede caracterizarse apropiadamente como conjunto.

Si aplicamos este principio, es imposible que surja la Paradoja de Russell.

P. S. Este post podría continuar con la Teoría de tipos de Russell, basada en la aplicación del Principio del círculo vicioso, que tampoco permite que surja la paradoja que se ha mostrado. Sin embargo, me parece que este post está superando ya el espacio permisible, y más aún, cuando el tema es éste.

P. P. S. Si alguien se lo lee hasta el final, tiene mi absoluto respeto y consideración. :)

Fuente: apuntes de la asignatura Lógica y Fundamentos de la facultad de Filosofía de la Universidad de Murcia.

Para leer más:

Wikipedia (español).

Wikipedia (inglés).

Stanford Encyclopedia of Philosophy (inglés).

Tengo que estudiarme una asignatura de Lógicas No Clásicas para mi súper Máster del Universo. Como no me da la gana de sufrirlo sola ni en silencio, he hecho un mini resumen basado en un apartado de los apuntes del profesor que me tengo que estudiar. Además, me tomo el lujo de entrar a saco en el tema, que éstas no son horas de hacer una introducción a una introducción, o sea, una "meta-introducción" (¿veis como no son horas?).

¿Cuál es la diferencia entre la Lógica Clásica (la que unos cuantos hemos visto un poquito en el instituto o un “muchito” en la carrera) y las Lógicas No Clásicas?

En cuanto a la Lógica Clásica (LC), ésta se caracteriza, básicamente, por dos rasgos:

1. Es bivalente.
2. Es veritativo-funcional

¿Qué significa que sea bivalente? Que dada una proposición, ésta sólo puede adoptar dos valores de verdad, verdadero o falso.

Que sea veritativo-funcional significa que, dada una proposición, su valor de verdad (que sea verdadera o falsa) dependerá de sus conectivas lógicas definidas como funciones de verdad y de los valores de verdad que se asignen a sus variables. En “cristiano” ¿cuándo es una fórmula verdadera y cuándo falsa? Pues depende de las conectivas (condicional, conjunción, disyunción, negador y bicondicional) y del valor de verdad que le demos a las variables (las letras proposicionales). En LC hay procedimientos que sirven para determinar el valor de verdad de una fórmula.

Ahora bien, distintos motivos han impulsado la proliferación de sistemas lógicos diferentes a LC. La motivación de fondo suele ser que ésta, en algún sentido, resulta inadecuada.

Así, hay sistemas que se presentan a sí mismos como alternativos a LC, que no aceptan todas las verdades lógicas que ésta contiene, así como sistemas que son suplementarios y que aceptan estas verdades pero añaden algunas más.

En el primer caso estaríamos hablando de Lógicas Alternativas (LA), mientras que en el segundo hablamos de Lógicas Extendidas (LE). Tres ejemplos de las primeras son la Lógica Multivalente, Intuicionista y de la Relevancia. Tres ejemplos de las segundas son la Lógica Modal, Deóntica y Temporal.

De estos ejemplos, las LE y la de la Relevancia son bivalentes pero no veritativo funcionales. La Lógica Multivalente es veritativo-funcional, pero no bivalente, y la Intuicionista ni siquiera reconoce el concepto de “valor de verdad”.

Básicamente, ¿cuándo hablamos de una LA y cuándo de una LE?

Los sistemas no clásicos suplementarios difieren de LC en que cuentan con un alfabeto mayor que el clásico y aceptan como válidos todos los teoremas e inferencias válidas de LC, pero incluyen otros teoremas e inferencias válidas adicionales.

Los sistemas no clásicos rivales difieren de LC en que cuentan con el mismo alfabeto que el clásico y todos sus teoremas e inferencias válidas son también válidos en la lógica clásica, pero hay teoremas e inferencias válidos en LC que son declarados inválidos.

Tras esta breve introducción, ya tengo la excusa perfecta para hablaros pronto de Intuicionismo y de Brouwer.